Inmersión (matemática)

En matemáticas, una inmersión es una aplicación diferenciable entre variedades diferenciables cuya derivada es inyectiva en todo punto. Explícitamente, f : M → N es una inmersión si:

${\displaystyle D_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N\,}$

es una función inyectiva en cada punto p de M (donde la notación T_pX representa el espacio tangente de X en el punto p). Equivalentemente, f es una inmersión si su derivada tiene rango constante e igual a la dimensión de M:

${\displaystyle \operatorname {rango} \,D_{p}f=\dim M}$

La propia función f no necesariamente debe ser inyectiva, sólo su derivada.

Un concepto relacionado es el de encaje (embedding). Un encaje es una inmersión inyectiva f : M → N que también es un encaje topológico, de tal manera que M es difeomórfica con su imagen en N. Una inmersión es claramente un encaje local, es decir, para un punto x ∈ M existe una vecinidad, U ⊂ M, de x tal que f: U → N es un encaje, y recíprocamente un encaje local es una inmersión. Para variedades de dimensión infinita, esto a veces se toma como la definición de inmersión.^[1]​

Si M es compacto, una inmersión inyectiva es un encaje, pero si M no es compacto entonces las inmersiones inyectivas no son necesariamiente encajes, análogamente a la relación que existe entre biyecciones continuas y homeomorfismos.

Homotopía regular

Una homotopía regular entre dos inmersiones f y g de una variedad M a otra variedad N se define como una aplicación diferenciable H : M × [0,1] → N al que para todo t in [0, 1] la función H_t: M → N definida por H_t(x) = H(x, t) para todo x ∈ M es una inmersión, con H₀ = f, H₁ = g. Una homotopía regular es por tanto una homotopía de inmersiones.

Clasificación

Hassler Whitney inició el estudio sistemático de las inmersiones y las homotopías regulares en los años 1940, y demostró que para 2m < n 1 toda aplicación f: M^m → Nⁿ de una variedad m-dimensional a una variedad n-dimensional es homotópica con una inmersión, y de hecho lo es a un encaje para 2m < n; estos dos resultados constituyen el teorema de inmersión de Whitney y el teorema de encaje de Whitney.

Stephen Smale expresó las clases de inmersión de homotopías regulares f : M^m → Rⁿ como los grupos de homotopía de una variedad de Stiefel. La eversión de la esfera es un consecuencia particularmente notable de este hecho. Morris Hirsch generalizó la expresión de Smale a una descripción en el marco de la teoría de la homotopía de las clases de homotopía regular de inmersiones de variedades m-dimensionales M^m en variedades n-dimensionales. La clasificación de Hirsch-Smale de las inmersiones fue generalizadas más aún por Mikhail Gromov.

Existencia

El obstáculo principal para la existencia de una inmersión i : M^m → Rⁿ es el fibrado normal estable de M, como es exhibido por sus clases características, particularmente sus clases de Stiefel-Whitney. Es decir, puesto que ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ es paralelizable, el pullback de su fibrado tangente a M es trivial, puesto que este pullback es la suma directa del fibrado tangente (intrínsecamente definido) TM, que tiene dimensión m, y del fibrado normal ν de la inmersión i, que tiene dimensión n-m.

Véase también

• Submersión
• Subvariedad inmersa
• Inmersión isométrica
• Teorema de inmersión de Nash

Referencias

Bibliografía

• Adachi, Masahisa (1993), Embeddings and immersions, ISBN 978-0-8218-4612-4, translation Kiki Hudson .
• Arnold, V. I.; Varchenko, A. N.; Gusein-Zade, S. M. (1985), Singularities of Differentiable Maps: Volume 1, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3187-9 .
• Bruce, J. W.; Giblin, P. J. (1984), Curves and Singularities, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42999-4 .
• Carter, J. Scott; Saito, Masahico (1995), Surfaces in 3-Space That Do Not Lift to Embeddings in 4-Spacepublished in conference proceedings Knot theory, Banach center publications, 42 Warzawa (1998), 29–47. .
• Carter, J. Scott; Saito, Masahico (1998), Knotted Surfaces and Their Diagrams, Mathematical Surveys and Monographs 55, p. 258, ISBN 978-0-8218-0593-0 .
• Carter, J. Scott; Kamada, Seiichi; Saito, Masahico (2004), Surfaces in 4-space .
• Gromov, M. (1986), Partial differential relations, Springer, ISBN 3-540-12177-3 .
• Hirsch M. Immersions of manifolds. Trans. A.M.S. 93 1959 242—276.
• Koschorke, Ulrich (1979), «Multiple points of Immersions and the Kahn-Priddy Theorem», Math Z. (169): 223-236 .
• Smale, S. A classification of immersions of the two-sphere. Trans. Amer. Math. Soc. 90 1958 281–290.
• Smale, S. The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces. Ann. of Math. (2) 69 1959 327—344.
• Lang, Serge (1999). Fundamentals of differential geometry. Graduate texts in mathematics. Springer. ISBN 978-0-387-98593-0. 
• Spring, D. (2005), «The Golden Age of Immersion Theory in Topology: 1959-1973», Bulletin of the American Mathematical Society 42: 163-180, doi:10.1090/s0273-0979-05-01048-7 .
• Wall, C. T. C.: Surgery on compact manifolds. 2nd ed., Mathematical Surveys and Monographs 69, A.M.S.

Enlaces externos

• Immersion at the Manifold Atlas
• Immersion of a manifold at the Encyclopedia of Mathematics